Si \(\mathscr R\) est une relation d'équivalence sur \(E\), la classe d'équivalence de \(x\in E\) est définie par : $${{\operatorname{cl}(x)=\bar x}}={{\{y\in E\mid y\mathscr R x\} }}$$
(Ensemble, Relation d'équivalence)
Représentant
un représentant de la classe \(\operatorname{cl}(x)\) est un élément \(y\in\operatorname{cl}(x)\)
Propriétés
Lien entre classes d'équivalences
Théorème :
Deux classes d'équivalences sont soit égales, soit disjointes
Partition
Si \(C\) est un ensemble de représentants de toutes les classes, alors \(\{\operatorname{cl}(x)\mid x\in C\}\) constitue une partition de \(E\)
(Représentant, Partition)
Cardinal - Equation de classe
Equation aux classes
Notation :
On note \([G:H]\) le nombre de classes d'équivalences de \(H\) dans \(G\) (qui s'écrivent sous la forme \(gH\))
Si \(g\in G\) un groupe et \(C_1,\dots,C_k\) sont des classes d'équivalences, $${{gC_1C_2\dots C_kg^{-1} }}={{gC_1g^{-1} gC_2g^{-1} \dots g C_kg^{-1} }}$$
$$\begin{CD} G@\gt f\gt \gt A\\ @V\pi_H VV\\ G/H \end{CD}$$de manière générale, dans ce genre de cas, on peut avoir \(\tilde f\) tel que \(f=\pi_H\circ\tilde f\) si et seulement si \(H\subset\ker f\)
Exemples
Exemple :
Sur \({\Bbb Z}\times{\Bbb N}^*\), on définit la relation d'équivalence \(\sim\) par : $$(n,m)\sim(nd,md)\quad\forall d\ne0$$
Alors on a : $${{{\Bbb Q}}}={{({\Bbb Z}\times{\Bbb N}^*)/\sim}}$$
